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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{6-矩阵的秩-线性方程组有解的判别法}
%\institute{上海立信会计金融学院}
%\author{王立庆}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{\number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日}
\date{{\ppr 2022年10月11日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item  矩阵的子式的定义
\item  矩阵的秩的定义
\item 用初等变换求矩阵的秩
\item 证明初等变换不改变矩阵的秩
\item 线性方程组有解的判别定理
\item 线性方程组的通解的任意常数的个数
%\item 齐次线性方程组的基础解系
%\item 公式法求解
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.1. 子式的概念 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red} 定义：从一个矩阵中取出 $k$ 行与 $k$ 列，这些行与列的交点处的元素组成一个 $k\times k$ 阶的行列式，称为这个矩阵的一个 $k$ 阶子式。}
\item 例子1：求一个$3\times 4$ 阶矩阵的3阶子式、2阶子式、和1阶子式的个数，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} *&*&*&* \\ *&*&*&* \\ *&*&*&* \end{pmatrix}.  
\end{eqnarray*}
}

\item 解答：

\begin{enumerate}
\item  取定3行有1种方法，取定3列有4种方法，所以共有4个3阶子式。
\item  取定2行有3种方法，取定2列有6种方法，所以共有18个2阶子式。
\item  取定1行有3种方法，取定1列有4种方法，所以共有12个1阶子式。
%\item  这个矩阵一共12个元素，所以共有12个1阶子式。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.2. 矩阵的秩的概念 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red}定义：矩阵的秩是取值不为零的子式的最高阶数。}

\item  矩阵 $A$ 的秩记为 $R(A)$ 或 $r(A)$. 这是一个大于或等于零的整数。

\item 例子2：按定义计算矩阵
{\footnotesize $A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix}$ }
的秩。

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item  首先看3阶子式。这个矩阵有唯一的一个3阶子式，就是矩阵 $A$ 的行列式本身。因为 $|A|=0$, 所以 $R(A)<3$. 

\item  接着看2阶子式。选取第1、2行与第1、2列，得到子式 $\begin{vmatrix} 1&2 \\ 4&5  \end{vmatrix}=-3$. 这是一个取值不为零的子式。所以 $R(A)=2$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.3. 秩为零的矩阵 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  例子3：什么时候一个矩阵的秩等于零？

\item  解答：如果一个矩阵不是零矩阵，即至少有一个元素不为零，例如
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} *&*&*&* \\ *&*&6&* \\ *&*&*&* \end{pmatrix}, 
\end{eqnarray*}
}
则这个矩阵至少有一个1阶子式不为零，所以它的秩至少是1. 所以 $R(A)=0$ 当且仅当 $A=O$ 是一个零矩阵。

\item 注：
\begin{itemize}
\item 矩阵的``1阶子式''就是矩阵的每个元素。
\item 如果矩阵是正方形的，则它的最高阶子式就是它的行列式。
\item 如果矩阵是长方形的（行数不等于列数），则它的最高阶子式就不止一个。
\end{itemize}
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.4. 用初等变换方法求矩阵的秩}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子4：用初等变换方法计算矩阵
{\footnotesize 
$A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix}$
}
的秩。

\item 解答：用{\color{red}行初等变换}将矩阵 $A$ 化为{\color{red}行阶梯形}，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix}
\xrightarrow[\text{第一行乘以$-7$加到第三行}]{\text{第一行乘以$-4$加到第二行 }}
\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&-3&-6 \\ 0&-6&-12 \end{pmatrix} \\ 
\xrightarrow[\text{ }]{\text{第二行乘以$-2$加到第三行 }}
\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 0&-3&-6 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
}
由于这个行阶梯形矩阵有两行不全为零，所以原矩阵的秩为2. 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.5. 定理}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定理：初等变换不改变矩阵的秩。}
\item 证明：分别对三种行初等变换进行验证，

\begin{enumerate}
\item 交换两行：相应的子式的值要么不变，要么变成相反数。
\item 某行乘以一个非零常数：相应的子式的值要么不变，要么乘以这个常数。
\item 某行乘以一个数加到另一行：（将矩阵 $A$ 按行分块，并设 $k\neq 0$）
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{pmatrix}
\xrightarrow[\text{ }]{\text{第一行乘以$k$加到第三行 }}
\begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \alpha_3+k\alpha_1 \end{pmatrix}=:B. 
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

根据行列式的性质，我们有（方便起见，子式中忽略了列的选取）
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3+k\alpha_1 \end{vmatrix} = 
\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{vmatrix} + 
k \begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \end{vmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.6.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item[3.1.]  若 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{vmatrix}=0$} 且 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3+k\alpha_1 \end{vmatrix}=0$}, 则 $R(A)=R(B)$.

\item[3.2.]  若 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{vmatrix}\neq 0$} 且 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3+k\alpha_1 \end{vmatrix}\neq 0$}, 则 $R(A)=R(B)$.

\item[3.3.]  若 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{vmatrix}=0$} 但 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3+k\alpha_1 \end{vmatrix}\neq 0$}, 则 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \end{vmatrix}\neq 0$}. 这说明如果矩阵 $A$ 有子式在变换前取值为零，但在变换后这些位置所在的子式取值不为零，那么矩阵 $A$ 有另一个同阶的子式取值不为零。因此 $R(A)= R(B)$. 

\item[3.4.]  若 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3 \end{vmatrix}\neq 0$} 但 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_3+k\alpha_1 \end{vmatrix}= 0$}, 则 {\footnotesize $\begin{vmatrix} \alpha_2 \\ \alpha_1 \end{vmatrix}\neq 0$}. 这同样说明，如果矩阵 $A$ 有子式在变换前取值不为零，但在变换后取值为零，则变换后有另一个同阶的子式取值不为零。因此 $R(A)= R(B)$. 

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.7. 求矩阵的取值不为零的最高阶子式 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  例子5：设 {\footnotesize $A=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix}$}, 找出一个取值不为零的最高阶子式。
\item  解答：
\begin{enumerate}

\item  在前面的例子中，将矩阵 $A$ 化为行阶梯形，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} {\color{red}1}&2&3 \\ 4&{\color{red}5}&6 \\ 7&8&9 \end{pmatrix}
\longrightarrow
\begin{pmatrix} {\color{red}1}&2&3 \\ 0&{\color{red}-3}&-6 \\ 0&0&0 \end{pmatrix}
\end{eqnarray*}
}
\item  行阶梯形矩阵的{\color{red}阶梯}所在的位置，这里是 $(1,1)$ 和 $(2,2)$ 位置，根据行初等变换追溯回去，找到原矩阵所在的位置，对应的子式，就是取值不为零的一个子式，而且是最高阶数的。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.8.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子6：求矩阵 $A$ 的秩 $r=R(A)$, 并找出一个取值不为零的 $r$ 阶子式， 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2&3&4 \\ 2&4&5&6 \\ 3&6&8&10 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item 解答：将矩阵 $A$ 化为行阶梯形，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} {\color{red}1}&2&3&4 \\ 2&4&{\color{red}5}&6 \\ 3&6&8&10 \end{pmatrix} 
\longrightarrow
\begin{pmatrix} {\color{red}1}&2&3&4 \\ 0&0&{\color{red}-1}&-2 \\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
因此原矩阵 $A$ 的秩 $R(A)=2$,而且 $A$ 的第1、2行与第1、3列所在的子式，是所求的取值不为零的一个2阶子式。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.9. 线性方程组有解的判定定理}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red} 定理：线性方程组 $AX=B$ 有解当且仅当 $R(A)=R(A,B)$, 即系数矩阵 $A$ 的秩等于增广矩阵 $\overline{A}=(A,B)$ 的秩。  }

\item  证明：将增广矩阵 $(A,B)$ 用行初等变换化为行阶梯形。只有两种情况：
\begin{enumerate}
\item  $R(A,B)=R(A)$. 此时有解。
\item  $R(A,B)=R(A)+1$. 此时有矛盾方程，因此无解。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.10. 通过系数矩阵和增广矩阵的秩来判断是否有解}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子7：比较下述两个线性方程组，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(1) \left\{\begin{array}{rrrr}
x_1 & +2x_2 &=& 3, \\
2x_1 & +4x_2 &=& 6.
\end{array}\right. 
%\hspace{0.5cm}
\hspace{0.5cm}
(2)\left\{\begin{array}{rrrr}
x_1 & +2x_2 &=& 3, \\
2x_1 & +4x_2 &=& 7.
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}

\item  解答：

\begin{enumerate}
\item 系数矩阵都是 {\footnotesize $A=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix} $}. 
\item 增广矩阵分别是 {\footnotesize $(A,B_1)=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&4&6 \end{pmatrix} $}. 
与 {\footnotesize $(A,B_2)=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&4&7 \end{pmatrix} $}. 
\item  因为 $R(A)=1$, $R(A,B_1)=1$, 所以线性方程组(1)有解。 
\item  因为 $R(A)=1$, $R(A,B_2)=2$, 所以线性方程组(2)无解。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.11. 线性方程组的通解中的任意常数的个数}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item {\color{red} 定理：设线性方程组 $AX=B$ 有解，即有 $R(A)=R(A,B)$. 并设未知数个数是 $n$, 即列向量 $X$ 有 $n$ 个分量。则这个线性方程组的通解中有 $n-R(A)$ 个任意常数。}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  将增广矩阵 $(A,B)$ 化为行最简形，找到 $R(A)$ 个阶梯的位置。
\item  可知线性方程组 $AX=B$ 同解变形为有 $R(A)$ 个方程组成的线性方程组，而且这 $R(A)$ 个方程的每一个都是不可或缺的。
\item  于是有 $n-R(A)$ 个未知数可以作为自由未知数移到等号的右边。
\item  写出通解的表达式，其中有 $n-R(A)$ 个任意常数。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.12.  }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 例子8：计算系数矩阵和增广矩阵的秩，证明线性方程组有解，并确定通解中的任意常数的个数，最后求通解的具体表达式加以验证，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rrrr}
x_1   & +2x_2 &=& 3, \\
2x_1 & +4x_2 &=& 6. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}

\item  解答：这里未知数的个数 $n=2$, 系数矩阵和增广矩阵分别为
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&4 \end{pmatrix}, 
\hspace{0.3cm}
(A,B)=\begin{pmatrix} 1&2&3 \\ 2&4&6 \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
计算可知 $R(A)=1$, $R(A,B)=1$. 根据定理，该线性方程组有解，而且通解有 $n-R(A)=2-1=1$ 个任意常数。
直接求解可得通解为
{\footnotesize 
$$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \,\, x_2\in\mathbb{R}. $$
}

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.13. 课堂练习}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 考虑下述线性方程组，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rrrrrr}
x_1 & +x_2 & +x_3 & + x_4 &=& 5, \\
x_1 &          & +x_3 &           &=& 2, \\
       &  x_2  &          &  +x_4 &=& 3.
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}
}
\begin{enumerate}
\item  求系数矩阵和增广矩阵的秩，由此证明该线性方程组有解。
\item  求该线性方程组的通解，并确定任意常数的个数。
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{6.14. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 

\begin{enumerate}

\item  系数矩阵的秩 $R(A)=2$, 增广矩阵的秩 $R(\overline{A})=2$. 因为相等所以有解。
%将增广矩阵化为行最简形，
%{\footnotesize 
%\begin{eqnarray*}
%A=\begin{pmatrix} 1&1&1&1&5 \\  1&0&1&0&2 \\ 0&1&0&1&3 \end{pmatrix} 
%\longrightarrow
%\begin{pmatrix} 1&0&1&0&2 \\ 0&1&0&1&3 \\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}.
%\end{eqnarray*}
%}

\item  通解可以写成如下，其中有2个任意常数，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
%=\begin{pmatrix} 2-x_3 \\ 3-x_4 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}
+x_3\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}
+x_4\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \,\, x_3,x_4\in\mathbb{R}.  
\end{eqnarray*}
}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{4.13. 基础解系}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 在上述例子中，任意常数后面的两个向量形成的集合
\begin{eqnarray*}
\left\{ 
\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
\right\}
\end{eqnarray*}
称为这个线性方程组 $AX=B$ 的导出的齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个{\color{red}基础解系}。

\item 上述例子中，$n=4$, $R(A)=R(A,B)=2$, 因此 $n-R(A)=2$, 这说明每个基础解系都正好有2个向量。
\item 齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，就是它的解空间的一个基。
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{4.14. 公式法求解线性方程组}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item 问题：用公式法求解线性方程组，
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
x_1-2x_2 +x_3 + x_4 &=& 1 \\
x_1-2x_2 +x_3-x_4 &=& -1 \\
x_1-2x_2 +x_3+5x_4 &=& 5
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}

\item[1.] 首先验证 $R(A)=R(A,B)=2$, 所以有解。
\item[2.] 找出系数矩阵中一个取值不为零的2阶子式，
\begin{eqnarray*}
(A,B)=\begin{pmatrix} \underline{1}&-2&1&1&1 \\  1&-2&1&\underline{-1}&-1 \\ 1&-2&1&5&5 \end{pmatrix} 
\end{eqnarray*}

\item[3.] 保留该子式所在的方程，保留该子式所在的未知数在左边，其余未知数移项到右边，然后用克拉默法则求解。

\end{itemize}

\end{frame}










